地鐵牽引供電系統數學模型的建立與求解
史鳳麗，于松偉
[摘 要] 利用線性代數等知識，根捂實際工程露要，建立了地鐵牽引供電系統的動態教學模型。這為地鐵牽引供電系統實現計算機仿真計算奠定了理論基礎，并提出了提高仿真計算精度的辦法。該模型將使牽引供電系統的建立更加安全、可靠、經濟.
[關鍵詞] 地鐵牽引供電系統；電流矩陣；矩陣方程；動態網絡.
1 背景資料
地鐵列車運動的能量來自于"地鐵牽引供電系統"。地鐵牽引供電系境與電氣化鐵路的牽引供電系統不一樣，地鐵列車的牽引電能是直流電(接觸網是正極，走行軌是負極)，電氣化鐵路列車的牽引電能是交流電。另外，運動著的地鐵列車的用電，與固定安裝在地鐵車站中的通風機和照明燈的用電性質也不一樣。地鐵列車的用電負荷是隨運行時間和列車位置的不同而發生變化的，是一個隨時變化的負荷；而通風機和照明燈的用電則是穩定負荷。
2 實際問題
如果地鐵列車的用電負荷不是隨運行時間和列車位置發生變化，那么很容易利用物理學中的電路知識，畫出一幅等效電路圖，從面可以進行電流、電壓、電阻、功率等電氣參數的分析求解。問題在于地鐵列車的用電負荷是隨時隨地動態變化的，無法用一幅固定的電路圖去描述一個動態的牽引供電系統網絡。以柱計算各種電氣參數平均值或有效值的"平均運轉量法"，不能進行瞬時值的計算。
然而，實際工程在分析地鉸牽引供電系統時,又極其需要知道每時每刻地鐵線路上任意位置的電氣參數，比如:牽引網電壓降、走行軌對地電位、饋線電流、母線電流、牽引變電所功率等等。目前，實際工程要對牽引供電系統進行計算機仿真計算。要實現牽引供電系統的仿真計算，就必須首先建立科學的數學模型。該數學模型，正是根據這種工程實際需要而建立的。
本文建立的數學模型，已經被成功地應用于"城市軌道交通牽引供電系統仿真軟件(URTPS)"的
開發。該軟件已通過鑒定，并在伊朗德黑蘭地鐵1號線北延伸線等實際工程中使用。
3 數學模型
3．1 僵設條件
假設牽引供電網絡如下：1)b輛列車，2)N個
牽引變電所(N>2)；3)起始時刻，上行方向有多個
列車在取流。
3．2數學模型的建立
在上述假設條件下，首先根據列車運行圖、列車牽引計算資料，確定起始時刻在上行方向列車數量(b)、列車位置、列車電流向量[Ia1,Ia2,Ia3,...Iab]，然后以此為基礎建立起始時刻上行牽引供電網絡的數學模型，如圖1所示。圖1中：
1)以牽引變電所的位置點和列車位置點將牽
引網絡分割成N+6-1個支路。
2)R1,R2,R3,...,RN+b-1分別為第1支路，第2支路，第3支路，…，第N+b-1支路的牽引網電
阻。由于取魔列車的位置是給定的、各牽引變電所位置是確定的．牽引網電阻是均勻對稱的，因而可根據R 1=L 1*r(i=1,2,...,N+b-1)計算出上述電阻R1,R2,R3,...,RN+b-1其中L1為各點間的距離，r為牽引網單位長度電阻。
3)每個牽引變電所用一個理想電壓源加等效電阻R3來表示,R3為牽引網電源的等效電阻,該電阻不應簡單地用牽引變電所和系統的阻抗折算到牽引網上,而應根據牽引網的外特性來計算。
4）從牽引網取流的列車被當作一個電流源處理，其電流為I 。
設各牽引網支路的電流為
[I 1,I 2,I 3,...,I N+b-1]
設各牽引變電所支路的電流為
[I N+b,I N+b+1,...,I 2N+b-1]
令：I=[I 1,I 2,I 3,...,I N+b-1,I N+b,I N+b+1,...,I 2N+b-1]T;B=[I 1,I 2,I 3,...,Iab,0,0,...,0]T;A為(b+2N-1)*(b+2N-1)矩陣,其中前b行由各個列車位置點根據KCL定律建立,b+1行到b+N行由各個牽引變電所位置點根據KCL定律建立,從b+N+1行到b+2N-1行依次由相鄰的兩個牽引變電所的正極等電位點之間根據KVL定律建立。
建立上述矩陣的原理如圖2。
基爾霍夫電流定律（KCL），是指“在集總電路中，任何時刻，對任何一個節電，所有支路電流的
代數和恒等于零”。例如在圖2中，對于節點1有：
i 1+i 2+i 3=0
基爾霍夫電壓定律（KVL），是指“在集總電路中，任何時刻，對任何一個回路，所有支路電壓的代數和恒等于零”。例如在圖2中，對于回路1有：
-R 1i 1+R 3i 3=U
對于回路2有：
R 2i 2-R 3i 3=0
將上述三個方程組成的方程組以矩陣方程表示，則有
由于牽引供電網絡是一個實時動態網絡，因此以上計算只是在t時刻掃描的網絡狀態，對于下一個（t+△t）時刻掃描，首先應根據列車運行圖及列車牽引計算資料，確定在這一新掃描時刻的列車數量與位置、負荷大小，相應地確定新新掃描的時刻的牽引供電網絡結構及負荷情況，建立起新掃描的時刻的牽引網等效網絡圖。然后再根據新等效網絡圖，依據以上方法建立新的矩陣方程，以此求解新掃描時刻的各項參數。這樣循環計算，知道最后一個掃描時刻。
3．4 電氣參數的求解
1)根據已經求出的上行牽引用各支路電流，可以求得牽引變電所上行饋線瞬時電流。
2)根據已經求出的上行牽引網各節點電壓，利用插值法可求得上行牽引網任意非節點處的電壓。
3)同理，通過建立下行牽引網等效網絡圖，并求解各支路電流及各節點電壓，即可計算出牽引變電所下行饋線瞬時電流、下行牽引網瞬時電壓。
4)根據各饋線瞬時電流及母線電壓，可以得到牽引變電所瞬時功率。
5)對饋線瞬時電流曲線f(t)=I 2(t)進行積分，得到牽引變電所饋線平均電流：
6)對牽引變電所饋線瞬時電流曲線f(t)=I 2(t)的平方進行積分，得到牽引變電所饋線有效電流：
7)根據方差定律，可以求得牽引變電所母線有效電遣。
8)相應地可以求得：牽引變電所功率、某段牽引網平均功率損失、全線牽引網子均功率損失、牽引網能耗、回流網對地電位等。
4 幾點說明
4．1 某牽引變電所解列(退出運行)時的數學模型
前面討論的是正常雙邊供電方式下的數學模型，瑰在分析當某一個牽引變電所解列時，如何建立數學模型。
1)當端頭牽引變電所(不管是戰略起點端頭，還是垂線略終點端頭)解列時，端頭牽引變電所至次端頭牽引變電所供電E間，原本是雙邊供電，將改由次端頭牽引變電所單邊供電，此時等效網絡按照去掉故障墻頭牽引變電所建立即可。
2)當中間牽引變電所解列時，分以下兩種情況：
情況一：相應的供電區間采用“大雙邊供電方式”，此時的等敏網絡按照去掉故障中間變電所建立即可。
情況二：相應的供電區間采用單邊供電方式，此時將原來的一個等效網絡，分成左右兩個獨立的等效同絡建立即可．
4．2 某牽引變電所一套機組退出運行時的數學模型
當某牽引變電所的一套機組退出運行時，在條件許可的情況下，另一套牽引整流機組應繼續運行。此時，將該牽引變電所的內阻加大'估計算即可。
4．3 提高仿真計算精虞的數學模型
為了進一步提高牽引供電系統的仿真計算精度，可以對上述數學模型進行以下改善：
1)將牽引網電阻拆解成接觸網電阻與同演網電阻兩部分。
2)上行列車與下行列車均作用于回流網．即均在共用的回流網上形成電壓降。
3)在各牽引變電所處，將上下行接觸網并聯起來。
