一、規(guī)范公式存在的問題
管道摩阻力的理論公式在許多文章和手冊中都曾經(jīng)出現(xiàn)過，后來集中反映在GB 50268-97《給水排水管道工程施工及驗(yàn)收規(guī)范》中。規(guī)范的6.4.8條規(guī)定，頂管的頂力可按下式計算：
式中 P—計算的總頂力(kN)；
γ—管道所處土層的重力密度(kN/m3)；
D1—管道的外徑(m)；
H—管道頂部以上覆蓋土層的厚度(m)；
?φ—管道所處土層的內(nèi)摩擦角(°);
ω—管道單位長度的自重(kN/m)，(筆者：應(yīng)改為由自重產(chǎn)生的力)；
L—管道的計算頂進(jìn)長度(m)；
f—頂進(jìn)時，管道表面與其周圍土層之間的摩擦系數(shù)；
PF—頂進(jìn)時，工具管的迎面阻力(kN)。
僅就管道摩擦力而言，上述公式可以簡化。設(shè)p為單位長度管道的摩阻力，則：
這一公式引用了摩擦力的基本理論：摩擦阻力等于正壓力乘摩擦系數(shù)。摩擦系數(shù)f采用已有的成果，所以問題的討論重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到正壓力的計算上來，式中的tg2(45°-φ/2)是主動土壓力系數(shù)，用K1來表示：K1=tg2(45°-φ/2),代入上式得：
稍作變化，將上式改寫如下：
此式的物理意義是：管道摩助力等于管頂土壓力強(qiáng)度與水平管軸線處主動土壓力強(qiáng)度之和的2倍，乘以管道直徑，再乘以摩擦系數(shù)，另外再加上管道自重所產(chǎn)生的摩阻力。
上式中第1項(xiàng)是管頂土壓力和管底地基應(yīng)力引起的摩阻力，第2項(xiàng)是管道兩側(cè)主動土壓力引起的摩阻力，計算時采用了每個方向上的單位土壓力乘以管道外徑D1作為正壓力，這種計算方法即違背了摩擦力的基本理論，因?yàn)槌茼敗⒐艿缀退焦茌S線兩側(cè)共4處土壓力以外，所有的土壓力與管道表面不垂直，并非是正壓力。
二、理論公式的推導(dǎo)
假設(shè)土壓力表示方法適用于圓形管道，下面按摩阻力的基本理論來推導(dǎo)摩阻力的理論公式。
1.管頂土壓力造成的正壓力
管頂土壓力強(qiáng)度q1是常量，并且有：q1=γH。
在角度為α的圓周上取一微面ds，對應(yīng)ds的圓心角為dα。設(shè)作用于ds上的垂直土壓力為dNV。則:
dNV=q1sinαds
設(shè)作用于ds上的正壓力為dN。則：
dN=dNVsinα=q1sin2αds
因?yàn)椋篸s=D1/(2dα)，所以:dN=D1/(2q1sin2αdα)，對上式積分，得：
代入q1得：
N=πγHD1/4
2.管道右側(cè)土壓力造成的正壓力
管道右側(cè)土壓力強(qiáng)度為q2，是變量，并且有：
q2=γ(H+D1/2-y)K1
因?yàn)椋骸 =D1sinα/2
所以： q2=γ(H+D1/2-D1sinα/2)K1
同樣在角度為α的圓周上取一微面ds，對應(yīng)ds的圓心角為dα。設(shè)作用于ds上的水平土壓力為dMH。則：dMH=q2cosαds
設(shè)作用于ds上的正壓力為dM。則：dM=dMHcosα=q2cos2αds，代入q2得：
dM=γ(H+D1/2-D1sinα/2)K1cos2αds
因?yàn)椋篸s = D1dα/2，所以：
dM=γK1D1(H+D1/2-D1sinα/2)cos2dα/2
對上式積分，得：
3.管道四周土壓力造成的總正壓力
可知，作用于管道四周的土壓力上下、左右都是對稱的，所以作用于管道四周土壓力的正壓力之和Q為：
由此可知外力引起的圓形管道單位長度摩阻力應(yīng)為：
p=f(Q+ω)
代入上式的Q得圓形管道單位長度摩阻力計算式的修正式：
稍作變化，將上式改寫成如下：
此式的物理意義是：管道摩阻力等于管頂土壓力強(qiáng)度與水平管軸線處主動土壓力強(qiáng)度之和的π/2倍，乘以管道直徑，再乘以摩擦系數(shù)，另外再加上管道自重所產(chǎn)生的摩阻力。
上式與規(guī)范公式相比，僅在于2與π/2的區(qū)別，也就是說，規(guī)范公式中的由土壓力產(chǎn)生的摩阻力部分的計算結(jié)果比修正后的摩阻力公式計算結(jié)果大27.3%。
三、圓形管道上的土壓力
圓形管道上的土壓力究竟如何分布?土壓力是否適用于圓形管道?仔細(xì)分析后，土壓力分布尚存在以下問題：
1.管道上部土壓力強(qiáng)度不是常量。管道上部的土壓力只有在管頂一點(diǎn)上強(qiáng)度是γH，其余各點(diǎn)均大于γH。A點(diǎn)上的覆蓋層厚度與B點(diǎn)相同。也就是說，在不計管道自重的情況下，管道下部的地基反力與管道上部土壓力相等。所以管底的地基應(yīng)力的強(qiáng)度也不是常量。
2.管道側(cè)向土壓力并非呈梯形分布。因?yàn)槟滁c(diǎn)的側(cè)向土壓力應(yīng)等于該點(diǎn)的垂直土壓力乘以主動土壓力系數(shù)。既然B點(diǎn)的垂直方向土壓力與A點(diǎn)相等，那么B點(diǎn)的主動土壓力也應(yīng)與A點(diǎn)相等。也就是說管道下部的側(cè)向主動土壓力應(yīng)與管道上部對稱。
下面進(jìn)一步推導(dǎo)作用于圓形管道上的土壓力公式，并假定：(1)土壓力只有正值，沒有負(fù)值；(2)地基反力納入土壓力范疇。
管道上部土壓力q1的分布關(guān)系式如下：
當(dāng)α=0～π時
q1=γ(H+D1/2-D1sinα/2)
當(dāng)α=π～2π時
q1=γ(H+D1/2+D1sinα/2)
管道側(cè)向土壓力q2的分布關(guān)系式如下：
當(dāng)α=0～π
q2=γK1(H+D1/2-D1sinα/2)
當(dāng)α=π～2π
q2=γK1(H+D1/2+D1sinα/2)
上述公式可以合拼如下：
根據(jù)土壓力分布圖，下面推導(dǎo)圓形管道摩阻力計算的理論公式。
1.管頂土壓力造成的正壓力
因垂直土壓力上下對稱，左右也對稱，現(xiàn)僅對α=0～π/2部份積分。
在角度為α的圓周上取一微面ds，對應(yīng)ds的圓心角為dα。設(shè)作用于ds上的垂直土壓力為dNV，則：
dNV=q1sinαds
設(shè)作用于ds上的正壓力為dN，則：
dN=dNVsinα=q1sin2αds
因?yàn)閐s=D1/2dα,所以dN=D1q1sin2αdα/2,代入q1=γ(H+D1/2-D1sinα/2)，得：
對上式積分得：
2.管道側(cè)向土壓力造成的正壓力
因水平土壓力左右對稱，上下也對稱，現(xiàn)僅對α=0～π/2部分積分。
同樣在角度為α的圓周上取一微面ds，對應(yīng)ds的圓心角為dα。設(shè)作用于ds上的水平上壓力為dMH，則:dMH=q2cosαds。
設(shè)作用于ds上的正壓力為dM，則:dM=dMHcosα=q2cos2αds，代入q2得：dM=γK1(H+D1/2 -D1sinα/2)cos2αds；因?yàn)椋篸s=D1dα/2，所以：
對上式積分，得：
3.管道四周土壓力造成的總正壓力
作用于管道四周的土壓力上下、左右都是對稱的，所以作用于管道四周土壓力的正壓力之和Q為：
由此可知外力引起的圓形管道單位長度摩阻力計算式應(yīng)修正為：
p=f(Q+ω)
代入上式的Q得
此式的物理意義：管道摩阻力等于水平管軸線處土壓力強(qiáng)度與主動土壓力強(qiáng)度之和的π/2倍，減去一個與埋深無關(guān)的管道特性項(xiàng)，再乘以管道直徑和摩擦系數(shù)，另外再加上管道自重所產(chǎn)生的摩阻力。
現(xiàn)在可以例出修正后的頂管的頂力計算公式：
建議規(guī)范的6.4.8條采用此公式（跳轉(zhuǎn)至卷首）
四、圓形管道上的正壓力分布
作用于管道上的土壓力一般用垂直壓力和側(cè)向壓力分別表示。但亦可用法向土壓力q表示。有時用法向土壓力表示使用起來更加方便。
dN=q1sin2αds dM=q2cos2αds
因?yàn)椋簈ds=dN+dM=(q1sin2α+cos2α)ds，所以：q=q1sin2α+q2cos2α，代入q1和q2的表達(dá)式為：
此式的物理意義是：圓形管道上任何一點(diǎn)的土壓力等于該點(diǎn)的垂直土壓力乘以一個不大于1的與角度有關(guān)的系數(shù)。這一論點(diǎn)將涉及現(xiàn)行地下管道的結(jié)構(gòu)計算，并能減少管道結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的投入。
五、矩形斷面管道的摩阻力計算
如果管道的斷面是矩形，其摩阻如何計算呢?
現(xiàn)再看土壓力形狀，如果是矩形斷面，則土壓力全部與矩形斷面管道的表面垂直。所以這一公式就是矩形斷面管道的摩阻力計算公式。
單位長度矩形斷面管道的摩阻力計算公式：
式中符號與前面相同。
上式的物理意義是：矩形管道摩阻力等于管頂土壓力強(qiáng)度與側(cè)向主動土壓力強(qiáng)度平均值之和的2倍，乘以邊長，再乘以摩擦系數(shù)，另外再加上管道自重所產(chǎn)生的摩阻力。
六、結(jié)論
1.《給水排水管道工程施工及驗(yàn)收規(guī)范》GB50268-97之6.4.8條規(guī)定的管道摩阻力計算公式不適用于圓形斷面的管道。規(guī)范公式中的由土壓力產(chǎn)生的摩阻力部分的計算結(jié)果比修正后的摩阻力公式計算結(jié)果大27.3%。但此公式適用于矩形斷面管道的摩阻力計算。
2.作用于圓形管道上部的垂直土壓力呈曲線分布，并非直線。兩側(cè)的主動土壓力分布對稱于水平管軸線，呈矩形加等腰三角形，并非梯形。
3.作用于圓形管道上的土壓力可用單一的法向土壓力來表示。法向土壓力強(qiáng)度q按下式計算：
4.單位長度圓形管道的摩阻力理論公式應(yīng)修正為：
此式的物理意義：管道摩阻力等于水平管軸線處垂直土壓力強(qiáng)度與主動土壓力強(qiáng)度之和的π/2倍，減去一個與埋深無關(guān)的管道特性項(xiàng)，再乘以管道直徑和摩擦系數(shù)，另外再加上管道自重所產(chǎn)生的摩阻力。
5.頂管頂力的嚴(yán)格計算公式應(yīng)為：
向規(guī)范推薦的頂管頂力計算公式為：
因上述2式的計算結(jié)果相差不大，且后者物理意義簡單明了，容易被人接受。所以推薦此式。
